Dieser Text beschreibt T-Norm.
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T-Norm ArtikelEine T-Norm, häufig auch klein t-Norm, handelt es sich um eine mathematische Funktion, die in dem Bereich mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen triangular norm, zu Deutsch Dreiecksnorm ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche in  beschreibt.
Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert
und muss folgendes Merkmalen aufweisen (zur exakten Definition dieser Merkmale siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):
Der Hintergrund bei der Entwicklung der T-Norm bestand darin, dass man für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktions-Operator benötigte. Die oben genannten Merkmalen sind gleichsam allgemeinstes Merkmalen eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutatität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Absichtmenge. Die 1 als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis ca. von einem Operanden abhängt.
Dieses Merkmalen werden in dem Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen benutzt, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden.
Komplementär zu T-Normen werden T-Conormen (od. auch S-Normen) benutzt. Mit Hilfe der de Morganschen Gesetze lässt sich nämlich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.
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Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Merkmalen am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitrechnung.
Zusätzlich gelten folgende Zusammenhänge:
D.h. dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.
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Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm | |
Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sie folgende Zusammenhänge:
- 1-⊥(a,b) = T(1-a, 1-b)
- 1-T(a,b) = ⊥(1-a, 1-b)
Folgende Bedingungen werden verlangt damit eine Funktion als T-Norm bzw. T-Conorm gilt:
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| T-Norm
| T-Conorm
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| Nullelement:
| T(0,a) = T(a,0) = 0
| ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1
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| Neutrales Element:
| T(a,1) = T(1,a) = a
| ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a
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| Assoziativität:
| T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
| ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c)
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| Kommutativität:
| T(a,b) = T(b,a)
| ⊥(a,b) = ⊥(b,a)
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| Monotonie:
| a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c)
| a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c)
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